Đề thi HSG Kiên Giang năm 2014

$$ x+2\sqrt{5-x}=2\sqrt{x+2}+\sqrt{10+3x-x^2}-2 $$

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ, trên parabol $y=\frac{1}{2}x^2$ lấy các dãy điểm $(A_n), (B_n)$ sao cho điểm $A_1$ có hoành độ dương và với mọi số nguyên dương $n$, đường thẳng $A_nB_n$ có hệ số góc bằng $-\frac{1}{4}$ và đường thẳng $B_nA_{n+1}$ có hệ số góc bằng $\frac{1}{5}$. Với mỗi số nguyên dương $n$, ký hiệu $a_n$ và $b_n$ tương ứng là hoành độ của $A_n$ và $B_n$. Chứng minh rằng các dãy số $(a_n)$ và $(b_n)$ là các cấp số cộng. Hãy xác định công sai và số hạng tổng quát của mỗi cấp số cộng đó.

Câu 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$; $AB=2a, AD=2BC$. Mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$, cạnh $SC=a\sqrt{5}$, với $H$ là trung điểm của cạnh $AB$. Tính khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(SHC)$ theo $a$.

Câu 4: Giải phương trình

$$ \cos^4x+\sin^4x+\dfrac{2}{\cos^4x}+\dfrac{2}{\sin^4x}=16+\dfrac{\sin 2x}{2} $$

Câu 5: Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$ P=\dfrac{a+3c}{a+2b+c}+\dfrac{4b}{a+b+2c}-\dfrac{8c}{a+b+3c} $$

Câu 6: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $\widehat{CAB}<\widehat{CBA}, O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp và các cạnh $BC=a, AC=b, AB=c$. Chứng minh rằng nếu tam giác $BIO$ là tam giác vuông thì: $$ \frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5} $$ 

Câu 7: Cho $2014$ số thực $x_1,x_2,\ldots,x_{2014}$ thỏa $\left|\sum\limits_{i=1}^{2014}x_i\right|>1$ và $\left|x_i\right|\le 1 (i=1,2,\ldots,2014)$. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương $k$ sao cho $$\left|\sum\limits_{i=1}^kx_i-\sum\limits_{i=k+1}^{2014}x_i\right|\le 1$$.