HomeĐề thi HSG Kiên Giang năm 2015
Thứ Hai, 16 tháng 11, 2015
Giới thiệu đến các bạn học sinh đề thi chọn học sinh giỏi vòng tỉnh năm học 2015 - 2016 của tỉnh Kiên Giang. Kỳ thi được diễn ra trong 2 ngày (11 - 12/09/2015) gồm 2 vòng thi. Đề thi vòng 1 bao giờ cũng dễ thở nhằm khuyến khích các trường tham gia dự thi, còn vòng 2 mang tính phân loại cao.
ĐỀ VÒNG 1
Bài 1. (4.0 điểm)
Cho hàm số y=\frac{2}{3}x^3+(m+1)x^2+(m^2+4m+1)x+1\quad (1), m là tham số thực.
- Tìm m để hàm số (1) luôn đồng biến trên tập xác định của nó.
- Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị với hoành độ x_1, x_2 thỏa mãn: 2x_1x_2-(x_1+x_2)+2=0.
Giải phương trình sau trên tập số thực: 1+2\cos^2\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} \right )=\cos^2\left ( \frac{x}{3}+\frac{\pi}{6} \right )
Bài 3. (4.0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(4;-2) và đường tròn (C) có phương trình: (x-3)^2+(y-2)^2=5.
- Tìm các điểm có tọa độ nguyên thuộc đường tròn (C).
- Tìm trên đường tròn (C) điểm B sao cho tam giác OAB vuông tại O (O là gốc tọa độ).
Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc và AC=2SB, BC=2SA. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm S lên các đường thẳng AC, BC và I là trung điểm đoạn AB. Chứng minh rằng:
- Đường thẳng SC vuông góc với đường thẳng EF.
- \tan^2\alpha+\tan^2\beta+\frac{EF}{AB}=\frac{5}{4}. Với \alpha=\widehat{SCI}, \beta=\widehat{SCA}.
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x+y+z=1. Chứng minh rằng: \frac{x^3-2x^2+x}{\sqrt{x}.(y+z)}+\frac{y^3-2y^2+y}{\sqrt{y}.(z+x)}+\frac{z^3-2z^2+z}{\sqrt{z}.(x+y)}\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}
ĐỀ VÒNG 2
Bài 1. (5.0 điểm)
Giải hệ phương trình: \begin{cases} x+y+z&=6\\ xy+yz-zx&=7\\ x^2+y^2+z^2&=14 \end{cases}
Bài 2. (5.0 điểm)
Cho hàm số f(x)=(x+m)^3+(x+n)^3-x^3; m, n là tham số thực.
Chứng minh rằng: với mọi m, n thì phương trình f(x)=0 có đúng một nghiệm thực.
Bài 3. (5.0 điểm)
Năm điểm thứ tự A_1, A_2, A_3, A_4, A_5 chia đường tròn bán kính R thành 5 cung bằng nhau. Chứng minh rằng: A_1A_2.A_1A_3=\sqrt{5}R^2.
Bài 4. (5.0 điểm)
Tìm số tự nhiên N có ba chữ số sao cho: Tổng các giai thừa ba chữ số của N bằng N.
